图的临界独立集

设 $G$ 为顶点集为 $V\left( G\right)$ 的简单图。若集合 $S\subseteq V\left( G\right)$ 中任意两个顶点均不相邻，则称 $S$ 为独立集，记 $\mathrm{Ind}(G)$ 为 $G$ 的所有独立集构成的族。对于 $X\subseteq V\left( G\right)$，其差值定义为 $d\left( X\right) =$ $\left\vert X\right\vert -\left\vert N(X)\right\vert$；若集合 $A\in\mathrm{Ind}(G)$ 满足 $d(A)=\max \{d\left( I\right) :I\in\mathrm{Ind}(G)\}$，则称 $A$ 为临界集（Zhang, 1990）。回顾以下定义：$\mathrm{core}\left( G\right)$ = $\bigcap$ {S : S 是最大独立集}，$\mathrm{corona}\left( G\right)$ = $\bigcup$ {S :S 是最大独立集}，$\mathrm{\ker}(G)$ = $\bigcap$ {S : S 是临界独立集}，$\mathrm{diadem}(G)$ = $\bigcup$ {S : S 是临界独立集}。本文阐述了 $\mathrm{\ker}(G)$ 的各种结构性质，并探讨了其与 $\mathrm{core}\left( G\right)$、$\mathrm{corona}\left( G\right)$ 及 $\mathrm{diadem}(G)$ 的关系。