某些树族的独立集序列

对于树 $T$，令 $i_T(t)$ 为 $T$ 中大小为 $t$ 的独立集数目。序列 $(i_T(t))_{t \geq 0}$ 是否总是单峰的(unimodal)，是由Alavi、Malde、Schwenk和Erd\H{o}s提出的一个开放问题。在此，我们针对一些递归定义的树族肯定地回答了该问题，具体为以周期方式从顶点垂下辅助树的路径。特别地，通过推广Wang和B.-X. Zhu的结果，我们展示了具有 $2n$ 个顶点的路径的独立集序列的单峰性，其中 $\ell_1$ 和 $\ell_2$ 条悬挂边(pendant edges)从路径顶点交替垂下，$\ell_1, \ell_2$ 任意。我们还表明，如果从任意一个顶点垂下足够多的悬挂边，或者如果从每个顶点垂下 $k$ 条悬挂边（对于足够大的 $k$），则任何树的独立集序列变为单峰的。这尤其意味着某些非周期毛虫树(caterpillars)的独立集序列具有单峰性。