关于单纯形车图的谱

\emph{单纯形车图} SR(d,n) 是指其顶点为 $\mathbb{R}^d$ 中标准单纯形第 $n$ 次膨胀内的格点，且当两个顶点恰好在两个坐标上不同时它们相邻的图。我们证明了对于任意 $n$，SR(3,n) 的邻接矩阵和 Laplacian 矩阵均具有整谱。证明过程通过计算显式的特征基进行。我们猜想 SR(d,n) 对所有 $d$ 和 $n$ 都是整图，并提出了支持该猜想的证据。对于 $n<\binom{d}{2}$，证据表明邻接矩阵的最小特征值为 $-n$，且相应的特征空间维数由 Mahonian 数给出，后者按逆序数对排列进行计数。