象棋表、2 的幂与仿射李代数

象棋表是一类特殊的标准 Young 表，在 Young 图的棋盘着色中，偶数总出现在白格而奇数总出现在黑格。若对 $n$ 的一个划分 $\lambda$，$\text{Chess}(\lambda)$ 表示形状为 $\lambda$ 的象棋表个数，则 Chow、Eriksson 与 Fan 观察到 $\displaystyle\sum_{\lambda \vdash n} \text{Chess}(\lambda)^2$ 可被反常大的 2 的幂整除。本文给出此现象的解释，证明该和的 2-进赋值下界为 $n-O(\sqrt{n})$ 并给出其推广。我们通过利用仿射李代数 $\widehat{\mathfrak{sl}_2}$ 在以划分为基的向量空间上的某表示建立联系。我们关于象棋表的结果随之由对 $\widehat{\mathfrak{sl}_2}$ 基本表示在分母为奇数的有理数环中取系数的研究得出。