相互正交拉丁方集合的奇偶性

每个拉丁方具有三个可为偶或奇的属性，但其中任意两个属性决定第三个。因此拉丁方的奇偶性具有 2 比特的信息量。我们将奇偶性的定义从拉丁方推广到相互正交拉丁方(MOLS)集合及相应的正交数组(OA)。假设 $\mathrm{OA}(k,n)$ 的奇偶性具有 $\dim(k,n)$ 比特的信息量。我们证明 $\dim(k,n) \leq {k \choose 2}-1$。对于对应于射影平面的情形，我们证明了更紧的界，即当 $n$ 为奇数时 $\dim(n+1,n) \leq {n \choose 2}$，当 $n$ 为偶数时 $\dim(n+1,n) \leq {n \choose 2}-1$。利用带有子MOLS的MOLS的存在性，我们证明若 $\dim(k,n)={k \choose 2}-1$，则对所有足够大的 $N$ 有 $\dim(k,N) = {k \choose 2}-1$。令 $\mathrm{OA}$ 的系综为通过将 OA 的任意三列解释为拉丁方而导出的拉丁方集合。我们展示了 $\mathrm{OA}(k,n)$ 的系综可包含的每种奇偶性的拉丁方数量上的许多限制。这些限制依赖于 $n\mod4$，并部分解释了为何构造阶为 $n \not= 2\mod4$ 的射影平面比 $n \not= 2\mod4$ 更困难。例如，我们证明当 $n \not= 2\mod 4$ 时，不可能构造这样的 $\mathrm{OA}(n+1,n)$，其系综中所有拉丁方都是同构的（在行、列和符号的置换下彼此等价）。