二次拉丁方的圈与反完美 1-因子分解

阶为 $n$ 的拉丁方是一个 $n \times n$ 的 $n$ 个符号的矩阵，使得每个符号在每一行和每一列中恰好出现一次。对于奇素数幂 $q$，令 $\mathbb{F}_q$ 表示阶为 $q$ 的有限域。二次拉丁方是由某个 $\{a, b\} \subseteq \mathbb{F}_q$ 定义的拉丁方 $\mathcal{L}[a, b]$，满足 $ab$ 与 $(a-1)(b-1)$ 均为 $\mathbb{F}_q$ 中的二次剩余，其定义为 $$(\mathcal{L}[a, b])_{i, j} = \begin{cases} i + a(j-i) & \text{if } j-i \text{ is a quadratic residue in } \mathbb{F}_q, \\ i + b(j-i) & \text{otherwise}, \end{cases}$$ 二次拉丁方此前已被用于构造完美 1-因子分解、相互正交拉丁方与原子拉丁方。我们首先刻画不含 $2 \times 2$ 拉丁子方的二次拉丁方。设 $G$ 为一图，$\mathcal{F}$ 为 $G$ 的一个 1-因子分解。若 $\mathcal{F}$ 中每对 1-因子的并均在 $G$ 中诱导出一个哈密顿圈，则称 $\mathcal{F}$ 为完美的；若 $\mathcal{F}$ 中不存在一对 1-因子在 $G$ 中诱导出哈密顿圈，则称 $\mathcal{F}$ 为反完美的。我们利用二次拉丁方构造了完全图与完全二部图的反完美 1-因子分解的新例子。我们还证明，对每个奇素数 $p$，仅存在有限多个 $p$ 的幂次 $q$，使得阶为 $q$ 的二次拉丁方可用于构造完全图或完全二部图的完美 1-因子分解。