基于超收缩性的对称群共轭类覆盖结果的改进

我们研究对称群 $S_n$ 中在共轭下封闭的子集（称为正规集）的覆盖数。我们证明对任意 $\epsilon>0$，存在 $n_0$ 使得若 $n>n_0$ 且 $A$ 是对称群 $S_n$ 中密度 $\ge e^{-n^{2/5 - \epsilon}}$ 的正规子集，则 $A^2 \supseteq A_n$。这改进了 Larsen 与 Shalev 的一项开创性结果（Inventiones Math., 2008），我们的双指数中的 $2/5$ 替代了他们的 $1/4$。我们的证明策略结合了两类技术。第一类是植根于特征界与 Witten zeta 函数渐近的'传统'技术，借鉴 Liebeck--Shalev、Larsen--Shalev 以及近期 Larsen--Tiep 的基础工作。第二类是对称群中的尖锐超收缩性定理，由 Keevash 与 Lifshitz 近期获得。这种代数与分析方法的综合不仅使我们达到改进的界，也为对称群上正规 Cayley 图中一般独立集的行为提供了新见解。