对称群的子群：计数与渐近性质

在本文中，我们证明对称群 $\mathrm{S}_n$ 有 $2^{n^2/16+o(n^2)}$ 个子群，从而解决了 Pyber 于 1993 年提出的一个猜想。我们还推导出了 $\mathrm{S}_n$ 中各类子群数量的渐近精确上下界，包括 $p$-子群的数量。此外，我们证明了关于 $\mathrm{S}_n$ 随机子群的一系列定理。特别地，我们证明了一个令人惊讶的结果：对于无穷多个 $n$，$\mathrm{S}_n$ 的随机子群为幂零群的概率有远离 $1$ 的下界。