Birkhoff 图独立数的更紧界

Birkhoff 图 $\mathcal{B}_n$ 是对称群 $S_n$ 的 Cayley 图，其中两个排列若仅相差一个单循环则相邻。我们的主要结果是 $\mathcal{B}_n$ 的独立数 $\alpha(\mathcal{B}_n)$ 的一个更紧上界，即我们证明 $\alpha(\mathcal{B}_n) \le O(n!/1.97^n)$，改进了 [Kane-Lovett-Rao, FOCS 2017] 先前已知的界 $\alpha(\mathcal{B}_n) \le O(n!/\sqrt{2}^{n})$。我们的方法将他们表示论技术的高阶版本与线性规划相结合。通过显式构造，我们还将他们对 $\alpha(\mathcal{B}_n)$ 的下界改进了 $n/2$ 倍。该构造基于 $\mathcal{B}_n$ 的恰当染色，这也给出了 $\mathcal{B}_n$ 的色数 $\chi(\mathcal{B}_n)$ 的一个上界。通过已知联系，$\alpha(\mathcal{B}_n)$ 的上界意味着网格状拓扑上一类最大可恢复码的字母表大小下界。