通过粗几何将图厚嵌入对称空间

我们证明了有限图厚嵌入对称空间的最优体积估计，推广了 Kolmogorov-Barzdin 与 Gromov-Guth 关于欧氏空间嵌入的结果。我们区分了依赖于非紧因子秩的两种极为不同的行为。对于秩至少为 2 的情形，我们构造了体积为 $CN\ln(1+N)$ 的 $N$ 顶点图厚嵌入，并证明此为最优。对于秩至多为 $1$ 的情形，我们证明形如 $cN^a$ 的下界，其中（显式的） $a>1$ 依赖于欧氏因子的维数及非紧因子边界的共形维数。主要工具是称为粗布线（coarse wiring）的厚嵌入的粗几何类比，其关键性质是对于维数至少为 $3$ 的对称空间，厚嵌入的最小体积与粗布线的最小“体积”可比。在附录中证明了对于每个 $k\geq 3$，每个有界度图都容许嵌入 $\mathbb{R}^k$ 的粗布线，其体积至多为 $CN^{1+\frac{1}{k-1}}$。作为推论，实双曲空间维数 $k+1$ 具有相同上界，且两种情形下该结果均为最优。