欧氏空间中大距离图的图兰型定理及相关等周问题

给定可测集$A\subset \mathbb R^d$，我们考虑定义在点集$A$上的“大距离图”$\mathcal{G}_A$，其中$A$中距离大于2的每对点构成一条边。我们考虑在$d$维欧氏空间中不含完全图$k$个顶点的拷贝的大距离图，最大化其边集的$2d$维勒贝格测度以及其顶点集的$d$维勒贝格测度的问题。前者可视为图兰经典图定理的连续类比，后者可视为经典等径问题的图论类比。我们的主要结果给出了大距离图的曼特尔定理类比。我们的方法采用了环域中的等径不等式，这或许具有独立意义。