基于稳定秩的最优近似矩阵乘积

我们以黑盒方式利用子空间嵌入保证，证明了可以通过一个具有 $m = O(\tilde{r}/\varepsilon^2)$ 行的降维映射来实现近似矩阵乘法的谱范数保证。这里 $\tilde{r}$ 是被乘的两个矩阵的最大稳定秩，即弗罗贝尼乌斯范数与算子范数之比的平方。这是对 [MZ11, KVZ14] 先前工作的定量改进，并且对于任何不经意的降维映射也是最优的。此外，由于我们的证明以黑盒方式依赖于子空间嵌入性质，我们的定理可以应用于比先前已知的更广泛的草图矩阵类别，同时还能获得更好的界。例如，可以将我们的定理应用于高效的子空间嵌入，如子采样随机哈达玛变换或稀疏子空间嵌入，甚至未来可能发展的子空间嵌入构造。通过先前工作中展示的与谱误差矩阵乘法的联系，我们的主要定理意味着近似最小二乘回归和低秩逼近的定量改进。我们的主要结果也已被应用于改进 $k$-均值聚类的降维保证 [CEMMP14]，并蕴含了非参数回归的新结果 [YPW15]。我们还单独指出，[BSS12] 的“BSS”确定性行采样结果的证明可以被修改，以表明对于任何稳定秩至多为 $\tilde{r}$ 的矩阵 $A, B$，可以通过在多项式时间内确定性地采样 $O(\tilde{r}/\varepsilon^2)$ 行来实现 $A^T B$ 近似矩阵乘法的谱范数保证。[BSS12] 的原始结果是针对秩而非稳定秩。我们的观察导致了 [KMST10] 一个主要定理的更强版本。