临界 Erd\H{o}s-R\'enyi 图的极值特征值

我们完成了对 Erd\H{o}s-R\'enyi 图 $G(N,d/N)$ 邻接矩阵 $A$ 极值特征值在临界区间 $d \asymp \log N$ 的分析，该区间是文献 [arXiv:1704.02953, arXiv:1704.02945] 所揭示相变的临界区间，后两者分别研究了 $d \gg \log N$ 和 $d \ll \log N$ 的区间。我们建立了度至少为 $2d$ 的顶点与 $A / \sqrt{d}$ 的位于渐近体 $[-2,2]$ 之外的非平凡（排除平凡的最大特征值）特征值之间的一一对应关系。这一对应关系意味着，以渐近体之外特征值的出现为特征的相变发生在临界值 $d = d_* = \frac{1}{\log 4 - 1} \log N$ 处。对于 $d < d_*$，我们得到了区间 $[-2,2]$ 之外所有特征值位置的刚性界，而对于 $d > d_*$，我们证明了不存在这样的特征值。我们所有的估计都是定量的，并具有多项式错误概率。我们的证明基于邻接矩阵的三对角表示以及对高度数顶点邻域几何性质的详细分析。我们估计中的一个重要成分是通过相关的非回溯矩阵和 Ihara-Bass 公式 [arXiv:1704.02945] 获得的矩阵不等式。我们的论证同样适用于稀疏 Wigner 矩阵，其定义为 $A$ 与 Wigner 矩阵的 Hadamard 乘积，在这种情况下，度的作用被各行 $\ell^2$-范数的平方所取代。