根式扩张中的素数分裂与公共 $N$-指标因子：$p=2$ 部分

延续 Vélez 的工作，我们显式描述了根式扩张 $\mathbb{Q}(\sqrt[n]{a})$ 中整素数 2 的分裂，其中 $x^n-a$ 是 $\mathbb{Z}[x]$ 中的不可约多项式。结合第二位作者先前的工作，这完整地描述了 $\mathbb{Q}(\sqrt[n]{a})$ 中任意素数的分裂。利用这一描述，我们对公共指标因子（即其分裂阻碍整数环存在幂积分基的素数）进行了分类。利用 Pleasants 的工作，我们将此推广以描述公共 $N$-指标因子（即整除由 $N$ 个元素在 $\mathbb{Z}$ 上生成的任意序的指标的素数）。我们还给出了两种没有公共指标因子的非单代数数域的新构造，以及对任意 $N>1$ 需要 $N$ 个环生成元的数环的构造。全文给出了相关实例。