关于线性递归序列的 Lucas 性质

我们说一个算术函数 $S:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Z}$ 具有 Lucas 性质，如果对任意素数 $p$，\begin{equation*} S(n)\equiv S(n_{0})S(n_{1})\ldots S(n_{r})\pmod p, \end{equation*} 其中 $n=\sum_{i=0}^{r}n_{i}p^{i}$，且 $0 \leq n_{i} \leq p-1,n,n_{i}\in\mathbb{N}$。在本短文中，我们讨论 Fibonacci 序列和 Lucas 数的 Lucas 性质。同时，我们发现了其他一些有趣的结果。