关于卢卡斯重复律的同余式

设$P,Q\in\Bbb Z$，$U_0=0,\ U_1=1$且$U_{n+1}=PU_n-QU_{n+1}$。本文我们得到了关于$U_{kmn^r}/U_k\pmod {n^{r+1}}$的一个一般同余式，其中$k,m,n,r$为正整数。作为应用，我们推广了卢卡斯重复律，并刻画了$a^n+1$或$S_n$的平方素因子，其中$\{S_n\}$由$S_1=P^2+2$和$S_{k+1}=S_k^2-2\ (k\ge 1)$给出。