Erd\H{o}s--Kac 定理中的高阶与奇数矩

Granville 和 Soundararajan 证明，在 Erd\H{o}s--Kac 定理中，当 $k=o((\log \log x)^{1/3})$ 时，第 $k$ 矩等于标准高斯分布的第 $k$ 矩，误差项可忽略不计。我们证明他们的范围是尖锐的：当 $k/(\log \log x)^{1/3}$ 发散时，现象发生变化，奇数矩开始表现出类似于偶数矩的增长行为。对于奇数 $k$，我们求出当 $k=O((\log \log x)^{1/3})$ 时第 $k$ 矩的渐近形式，而此前仅知其上界。我们的方法具有灵活性，可适用于其他分布，包括泊松分布，其中心矩最终成为 Erd\H{o}s--Kac 矩的优异近似。