素数分布中的奇数阶矩

Montgomery 和 Soundararajan 证明了，当 $N^{\delta} \le H \le N^{1-\delta}$ 时，对于 $0 \le x \le N$，$\psi(x+H) - \psi(x)$ 的分布近似正态，均值 $\sim H$，方差 $\sim H \log (N/H)$。他们的工作依赖于证明 $k$ 项奇异级数的和 $R_k(h)$ 为 $\mu_k(-h \log h + Ah)^{k/2} + O_k(h^{k/2-1/(7k) + \varepsilon})$，其中 $A$ 是常数，$\mu_k$ 是高斯矩常数。我们研究这些矩大小中的低阶项。我们猜想当 $k$ 为奇数时，$R_k(h) \asymp h^{(k-1)/2}(\log h)^{(k+1)/2}$。我们证明了当 $k = 3$ 时具有正确 $h$ 幂次的上界，并在函数域设定下证明了当 $k =3$ 和 $k = 5$ 时的类似上界。我们通过数值计算为这一猜想提供了进一步的证据。