$\mathbb{F}_q[x]$ 中极短区间的素数及相关与 Möbius 相关

我们研究函数域中素数分布及素数 $k$-元组在形如 $I(f) := \{ f(x) + a : a \in \mathbb{F}_p \}$（其中 $f(x) \in \mathbb{F}_p[x]$ 且 $p$ 为素数）的“极短区间”中的类比，以及函数域中 Möbius $\mu$ 函数及其相关（类似于 Chowla 猜想中出现的和式）的和的相消。对于一般的 $f$，即 $f$ 为 Morse 多项式时，误差项大致为 $O(\sqrt{p})$（典型主项为 $p$ 阶）。对于非一般的 $f$，我们证明了对“一般”的平移集合独立性仍成立。我们也能给出在 Möbius/Chowla 型和中完全无相消的例子（事实上，结果表明 Möbius 和中的（平方根）相消与 Chowla 型和中的（平方根）相消等价），以及“素数独立”启发式严重失效的区间。这些结果由关于算术类函数相关的一般定理推出；这些函数包括素数的特征函数、Möbius $\mu$ 函数以及除数函数（例如可处理函数域的 Titchmarsh 除数问题的类比）。我们还证明了在更精细的固定特征标设定下类似但稍弱的结果，即对于 $f(x) \in \mathbb{F}_q[x]$ 以及形如 $f(x)+a$（$a \in \mathbb{F}_q$）的区间，其中 $p$ 固定且 $q=p^{l}$ 增长。