有限域多项式环上 Möbius 函数的线性与二次一致性

我们考察有限域多项式环 $\mathbb{F}_q[t]$ 上 Möbius 函数与线性或二次相位的关联，即形如 \begin{equation} \label{eq:average} \frac{1}{q^n}\sum_{\text{deg }f<n} \mu(f)\chi(Q(f)) \end{equation} 的平均值，其中 $\chi$ 是 $\mathbb{F}_q$ 上的加法特征，$Q\in\mathbb{F}_q[x_0,\ldots,x_{n-1}]$ 是关于 $f=\sum_{i< n}x_i t^i$ 的系数 $x_0,\ldots, x_{n-1}$ 的次数至多为 2 的多项式。与整数情形类似，由于 $\mu$ 的类随机行为，合理预期此类和式应表现出显著的相消。本文证明：若 $Q$ 为线性，则上述关联被 $O_\epsilon \left( q^{(-\frac{1}{4}+\epsilon)n} \right)$ 界住（任意 $\epsilon >0$）；若 $Q$ 为二次，则被 $O \left( q^{-n^c} \right)$ 界住（其中 $c>0$ 为绝对常数）。当 $Q(f)$ 是 $f^2$ 系数的线性型（即 Hankel 二次型）时，后一界可改进为对某个 $c'>0$ 有 $O(q^{-c'n})$；而对一般二次型，该界依赖于加法组合 Bogolyubov 定理的双线性版本。