关于与模形式相关的 M-函数

设 $f$ 为权 $k$、级 $N$ 的本原尖点形式，设 $\chi$ 为导子与 $N$ 互素的 Dirichlet 特征，并设 $\mathfrak{L}(f\otimes \chi, s)$ 表示 $\log L(f\otimes \chi, s)$ 或 $(L'/L)(f\otimes \chi, s)$。在本文中，我们研究了当 $\chi$ 或 $f$ 变化时 $\mathfrak{L}$ 值的分布。首先，对于拟特征 $\psi\colon \mathbb{C} \to \mathbb{C}^\times$，当 $f$ 固定且 $\chi$ 遍历导子趋于无穷的素数特征集合时，我们找到了平均值 $\mathrm{Avg}\_\chi \psi(L(f\otimes\chi, s))$ 的极限。其次，通过建立上述极限函数的解析性质，我们证明了 $\mathfrak{L}(f\otimes \chi,s)$ 值的等分布结果。第三，当 $f$ 遍历给定权 $k$ 且级 $N\to \infty$ 的本原尖点形式集合时，我们研究了调和平均值 $\mathrm{Avg}^h\_f \psi(L(f, s))$ 的极限。大多数结果是在 $L(f\otimes\chi, s)$ 的广义 Riemann 假设下条件性获得的。