狄利克雷 $L$-函数对数线性组合的中心极限定理

本文旨在将我们早先关于黎曼 zeta 函数对数的工作推广到具有常实系数的本原狄利克雷 $L$-函数对数的线性组合。在适当假设下，我们证明当 $T\to \infty$ 时，形如 $(a_1\log|L(\rho,\chi_n)|+\dots+a_1\log|L(\rho,\chi_n)|)$ 的序列具有均值 $0$、方差 $\tfrac{1}{2}\big({a_1}^2+\dots+{a_n}^2 \big)\log\log T$ 的近似高斯分布。此处 $a_1, \dots, a_n \in \mathbb{R}$，每个 $\chi_i$ 是模 $M_i$ 的本原狄利克雷特征且 $M_i\leq T$，且 $0< \operatorname{Im}\rho \leq T$，其中 $\rho$ 取遍 zeta 函数的非平凡零点。由该结果的证明，我们还推导出了序列 $(\log|L(\rho,\chi_1)|), \dots, (\log|L(\rho,\chi_n)|)$ 分布在适当归一化下的独立性。