临界线附近 $L$-函数分布的偏差界

我们研究了 $L$-函数在直线 $\sigma= \frac12 + \frac1{G(T)}$ 和 $t \in [ T, 2T]$ 上的联合分布，其中 $\log \log T \leq G(T) \leq \frac{ \log T}{ ( \log \log T)^2 }$。我们获得了 $L$-函数联合分布与其随机模型联合分布之间偏差的上界。作为应用，我们证明了对于 $\sigma= \frac12 + \frac1{G(T)}$ 和 $t \in [ T, 2T]$ 上的 $L$-函数，Selberg 中心极限定理的一个多维版本的渐近展开，其中 $( \log T)^\epsilon \leq G(T) \leq \frac{ \log T}{ ( \log \log T)^{2+\epsilon } }$ 且 $\epsilon > 0$。