Selberg中心极限定理大偏差的随机矩阵修正证据
概率论
2021-04-20 v2 数论
摘要
Selberg中心极限定理指出，当τ为[T,2T]上的均匀随机变量时，log|ζ(1/2+iτ)|的值分布如均值为0、标准差为√(1/2 log log T)的高斯随机变量。Radziwiłł猜想这在log log T量级上失效，即在k log log T (k>0)层级会出现乘性修正C_k。该常数应等于ζ的第2k阶矩的渐近主项，此由Keating与Snaith借助随机矩阵理论首先猜想。本文为该猜想提供数值与理论证据。我们提出此修正对大小为(log T)^θ (θ>0)区间内log|ζ|最大值分布有显著影响。预测的精确性使得即便在T=10^8量级的低T下也能数值探测到C_k。类似的修正出现在随机酉矩阵特征多项式对数的Keating-Snaith中心极限定理的大偏差中，由Féray、Méliot与Nikeghbali首先证明。
引用
@article{arxiv.2104.07403,
title = {Evidence of Random Matrix Corrections for the Large Deviations of Selberg's Central Limit Theorem},
author = {Eli Amzallag and Louis-Pierre Arguin and Emma Bailey and Kelvin Hui and Rajesh Rao},
journal= {arXiv preprint arXiv:2104.07403},
year = {2021}
}
备注
18 pages, 5 figures, added a reference to F\'eray, M\'eliot and Nikeghbali where Theorem 1.1 was proved