涉及哥德巴赫数Cesàro平均的一些恒等式

设$\Lambda\left(n\right)$为冯·曼戈尔特函数，$r_{G}\left(n\right) := \sum_{m_1 + m_2=n} \Lambda \left(m_1 \right) \Lambda\left(m_2 \right)$为可写为两个素数之和的数的计数函数（为简洁我们称之为“哥德巴赫数”），并设$\widetilde{S }\left(z\right) := \sum_{n\geq1} \Lambda\left(n\right) e^{-nz}$，其中$z\in\mathbb{C}$，$\mathrm{Re}\left(z\right)>0$。本文将证明恒等式$$\widetilde{S}\left(z\right) = \frac{e^{-2z}}{z}-\sum_{\rho}z^{-\rho} \Gamma \left(\rho\right) + \sum_{\rho} \left(z^{-\rho} \gamma\left(\rho,2z\right) - \frac{2^{\rho}e^{-z}}{\rho} \right) + G\left(z\right)$$其中$\gamma\left(\rho,2z\right)$为下不完全Gamma函数，$\rho=\beta+i\gamma$取遍黎曼Zeta函数的非平凡零点，$G\left(z\right)$为（可显式计算的）初等函数与复指数积分之和。此外我们将证明\begin{align*} \sum_{n\leq N} r_G \left(n\right) \left(N-n\right) = & \frac{N^{3}}{6} - 2\sum_{\rho}\frac{\left(N-2\right)^{\rho+2}}{\rho\left(\rho + 1\right)\left(\rho+2\right)} + & \sum_{\rho_1} \sum_{\rho_2} \frac{\Gamma\left(\rho_{1}\right) \Gamma\left(\rho_{2}\right)} {\Gamma\left(\rho_{1} + \rho_{2}+ 2\right)} N^{\rho_1 + \rho_2+1} + F\left(N\right) \end{align*}其中$N>4$为自然数，$F\left(N\right)$为（可显式计算的）初等函数、二重对数函数以及涉及不完全Beta函数的黎曼Zeta函数非平凡零点之和。