哥德巴赫数的切萨罗平均

设 $\Lambda$ 为冯·曼戈尔特函数，$(r_G(n) = \sum_{m_1 + m_2 = n} \Lambda(m_1) \Lambda(m_2))$ 为哥德巴赫数的计数函数。设 $N \geq 2$ 为整数。我们证明：对 $k > 1$，有 $$\begin{align} &\sum_{n \le N} r_G(n) \frac{(1 - n/N)^k}{\Gamma(k + 1)} = \frac{N^2}{\Gamma(k + 3)} - 2 \sum_\rho \frac{\Gamma(\rho)}{\Gamma(\rho + k + 2)} N^{\rho+1}\\ &\qquad+ \sum_{\rho_1} \sum_{\rho_2} \frac{\Gamma(\rho_1) \Gamma(\rho_2)}{\Gamma(\rho_1 + \rho_2 + k + 1)} N^{\rho_1 + \rho_2} + \mathcal{O}_k(N^{1/2}), \end{align}$$ 其中 $\rho$（带或不带下标）取遍黎曼 $\zeta$ 函数 $\zeta(s)$ 的非平凡零点。