Selberg 类 Li 判据的重构

设$F$为 Selberg 类${\mathcal S}$中的一个函数，$a$为不等于$1/2$的实数。考虑和式$$\lambda_{F}(n,a)=\sum_{\rho}\left[1-\left(\frac{\rho-a}{\rho+a-1}\right)^{n}\right],$$其中$\rho$遍历$F$的所有非平凡零点。在本文中，我们证明了黎曼猜想等价于对于$n=1,2,\dots$且$a<1/2$时，“修正 Li 系数”$\lambda_{F}(n,a)$的正定性。此外，我们给出了这些系数的显式算术公式和渐近公式。