广义 Li 和的生成函数

最近，在 arXiv:1304.7895 及 Ukrainian Math. J. - 2014.- 66. - P. 371 - 383 中，我们提出了广义 Li 判据。该判据指出：对任意 $n=1, 2, 3\dots$ 和任意实数 $b>-\sigma$，和式 $\lambda_{n, b, \sigma}=\sum_{\rho}((1-((\rho+b)/(\rho-b-2\sigma))^n))$（遍历所有 Riemann $\xi$-函数的零点并考虑其重数，必要时在求和时将复共轭零点配对）非负，当且仅当不存在实部 $\text{Re}(\rho)>\sigma$ 的 Riemann 函数零点。对任意 $n=1, 2, 3\dots$ 和任意实数 $b<-\sigma$，这些和式非负当且仅当不存在实部 $\text{Re}(\rho)<\sigma$ 的 Riemann 函数零点；相应地，对于 $\sigma=1/2$ 且 $b \neq 1/2$，这种非负性等价于 Riemann 猜想。在本注记中，我们获得了该广义判据的生成函数，展示了 Taylor 展开（$b \neq -\sigma$）：$\ln(\xi(b+2\sigma+(2b+2\sigma)z/(1-z))) =\ln(\xi(b+2\sigma))+\sum_{n=1}^{\infty}(\lambda_{n, b, \sigma}z^n/n))$。