q-算术级数最小公倍数的非平凡有效下界

本文致力于为序列 ${(u_n)}_{n \in \mathbb{N}}$ 连续项的最小公倍数建立非平凡有效下界，该序列通项为 $u_n = r {[n]}_q + u_0$，其中 $q , r$ 为正整数，$u_0$ 为非负整数且满足 $\mathrm{gcd}(u_0 , r) = \mathrm{gcd}(u_1 , q) = 1$。对此类序列，我们证明对所有正整数 $n$，有 $\mathrm{lcm}\{u_1 , u_2 , \dots , u_n\} \geq c_1 \cdot c_2^n \cdot q^{\frac{n^2}{4}}$，其中 $c_1$ 与 $c_2$ 为仅依赖于 $q , r$ 和 $u_0$ 的正常数。这可视为作者（2005 年）与 Hong 和 Feng（2006 年）对算术级数所得下界的 $q$-类比。