数域中 S-整数上的周期连分数与 Skolem 的 p-进方法
数论
2022-12-02 v2 代数几何
摘要
我们将 Z 上周期连分数(PCF)的经典理论推广到数域中 S-整数环 O。设 B={β, β*} 为 O[x] 中二次多项式的根的多重集。我们证明,潜在收敛到 B 中极限的 (N,k) 型 PCF P=[b_1,…,b_N,\bar{a_1…,a_k}] 由仿射簇 V:=V(B)_{N,k} 上的 O-点给出,该簇一般维数为 N+k-2。我们用 Wallis 与 Euler 的连分数多项式给出 V 的方程。整点 V(O) 与将 SL_2(O) 中矩阵写为初等矩阵之积相关。我们给出一种算法以判定 PCF 是否收敛,若收敛则计算其极限。我们的标准例子将 PCF √2=[1,\bar{2}] 推广到 Q 的 Z_2-扩张:F_n=Q(α_n),α_n:=2cos(2π/2^{n+2}),整数环 O_n=Z[α_n]。我们想通过对 B_{n+1}:={α_{n+1}, -α_{n+1}} 求 V(B_{n+1})_{N,k} 上的 O_n-点,来寻找 α_{n+1} 在 O_n 上的 (N,k) 型 PCF。存在三种类型 (N,k)=(0,3)、(1,2)、(2,1),使得相应的 PCF 簇 V(B)_{N,k} 为曲线;我们分析这些曲线。对一般的 B,Siegel 定理蕴含这三个 V(B)_{N,k}(O) 均有限。我们对 n=0,1 找到了这些 PCF 曲线 V(B_{n+1})_{N,k} 上的所有 O_n-点。当 n=1 时,我们大量使用 Skolem 对 p=2 的 p-进方法,包括其对 Ljunggren 方程 x^2 + 1 =2y^4 的应用。
引用
@article{arxiv.1909.11214,
title = {Periodic continued fractions over $S$-integers in number fields and Skolem's $p$-adic method},
author = {Bradley W. Brock and Noam D. Elkies and Bruce W. Jordan},
journal= {arXiv preprint arXiv:1909.11214},
year = {2022}
}