关于 Z₂ 扩张上 ℚ 的若干周期连分数
数论
2025-04-15 v2
摘要
2021 年，Brock、Elkies 和 Jordan 将周期连分数（PCF）理论从 ℤ 推广到数域的整数环。特别地，他们考虑了数域为 ℤ₂-扩张在 ℚ 上的中间域的情形，并询问对于 Xₙ = 2cos(2π/2ⁿ⁺²) 是否存在 (N, ℓ)-型 PCF。在本文中，我们为所有 n≥1 构造了 Xₙ 的 (1,2) 型和 (0,3) 型 PCF。据我们所知，这是对所有 n≥1 显式构造 (0,3) 型连分数的首次结果。为了获得这些结果，对于每种类型，我们在 ℤ₂-扩张的每一层相对单位群的某个子集与 Xₙ 的 PCF 集合之间构造了双射。虽然我们的结果证实了所有 n≥1 在 (1,2) 型和 (0,3) 型中此类 PCF 的存在性，但确定所有 PCF 仍是一个开放问题。结果中构造的双射将这一问题转化为相对单位子集的研究。作为第二主要结果，我们给出了与 Xₙ 的 (1,2) 型或 (0,3) 型 PCF 对应的相对单位的对数的显式界。这些界使我们能够解释在此类点分布中观察到的有趣现象。
引用
@article{arxiv.2503.09909,
title = {On some periodic continued fractions along the $\mathbb{Z}_2$ extension over $\mathbb{Q}$},
author = {Yoshinori Kanamura and Hyuga Yoshizaki},
journal= {arXiv preprint arXiv:2503.09909},
year = {2025}
}
备注
15 pages, 2 figures