带一个催化变量的多项式方程、代数级数及地图计数

设 $F(t,u)\equiv F(u)$ 为以 $u$ 的多项式为系数的 $t$ 的形式幂级数。设 $F_1, ..., F_k$ 为 $k$ 个与 $u$ 无关的 $t$ 的形式幂级数。假设所有这些级数由多项式方程 $$P(F(u), F_1, ..., F_k, t, u)=0.$$ 所刻画。我们证明，在该方程形式的一个温和假设下，这 $(k+1)$ 个级数都是代数的，并给出为每个级数计算多项式方程的策略。该策略推广了分别适用于关于 $F(u)$ 线性与二次的方程的所谓核方法与二次方法。应用包括众多地图计数问题的求解，其中包括一般平面地图上的硬粒子模型。