加权四次型的定量 Hasse 原理

借助 Hardy-Littlewood 方法，我们在非奇异局部可解性假设下，导出了一类特定加权四次型整零点个数的渐近公式。我们的多项式 $F({\mathbf x},{\mathbf y}) \in \mathbb{Z}[x_1,\ldots,x_{s_1},y_1,\ldots,y_{s_2}]$ 满足条件 $F(\lambda^2 {\mathbf x}, \lambda {\mathbf y}) = \lambda^4 F({\mathbf x},{\mathbf y})$。我们的结论改进了直接应用 Birch 方法所得的结果。例如，我们证明在许多情形下，当 $s_1 \ge 2$ 且 $2s_1 + s_2 > 8$ 时，所期望的渐近公式成立。