素数对在陪集格同余类中的等分布

在本文中我们证明,对于某个常数 $c>0$ 以及任意 $A>0$,存在某个 $x(A)>0$,使得若 $q\leq (\log x)^{A}$,则对 $x\geq x(A)$ 以及某个 $\Theta(z)>0$ 有\n\begin{align} \Psi_z(x;\mathcal{N}_q(a,b),q) &= \frac{\Theta (z)}{2\phi(q)}x + O\bigg(\frac{x}{e^{c\sqrt{\log x}}\bigg)\nonumber \end{align}\n特别地,对于任意 $A>0$ 当 $q\leq (\log x)^{A}$ 时,\n\begin{align}\Psi_z(x;\mathcal{N}_q(a,b),q)\sim \frac{x\mathcal{D}(z)}{2\phi(q)}\nonumber \end{align}\n对某个常数 $\mathcal{D}(z)>0$ 成立,其中 $\phi(q)= \# \{(a,b):(p_i,p_{i+z})\in \mathcal{N}_q(a,b)\}$。