算术级数中素数的首矩：超越 Siegel-Walfisz 范围

我们研究级数中素数的首矩 $$\sum_{\substack{q\leq x/N \\ (q,a)=1}} \Big(\psi(x; q, a) - \frac x{\varphi(q)}\Big)$$ 当 $x, N \to \infty$ 时的情形。我们无条件地证明，当 $a=1$ 时，存在显著偏向负值的偏倚，且对 $N\leq {\rm e}^{c\sqrt{\log x}}$ 一致成立。证明结合了作者近期关于首矩与色散法误差项的结果。更一般地，对 $a \in \mathbb Z\setminus\{0\}$，我们证明了考虑 Landau-Siegel 零点潜在存在（或不存在）的估计。