随机积性函数的矩, II: 高次矩

我们确定了 $\mathbb{E}|\sum_{n \leq x} f(n)|^{2q}$ 的阶，误差因子大小为 $e^{O(q^2)}$，其中 $f(n)$ 为 Steinhaus 或 Rademacher 随机积性函数，对所有实数 $1 \leq q \leq \frac{c\log x}{\log\log x}$ 成立。在 Steinhaus 情形，我们证明在此整个范围内 $\mathbb{E}|\sum_{n \leq x} f(n)|^{2q} = e^{O(q^2)} x^q (\frac{\log x}{q\log(2q)})^{(q-1)^2}$。在 Rademacher 情形，我们发现当 $q \approx (1+\sqrt{5})/2$ 时矩的行为发生转变，其大小开始由“正交”而非“酉”行为主导。我们还推导出关于 $\sum_{n \leq x} f(n)$ 大偏差的一些推论。证明使用了多种工具，包括超收缩不等式，以将 $\mathbb{E}|\sum_{n \leq x} f(n)|^{2q}$ 与 Euler 乘积积分的 $q$ 阶矩相联系。当 $q$ 较大时，分析该积分相当容易。当 $q$ 接近 1 时，分析似乎需要更精细的论证，包括 Doob 关于鞅的 $L^p$ 极大不等式。