随机乘性函数部分和符号变化 III：平均值

设 $V(x)$ 为达尔曼随机乘性函数 $f$ 的部分和 $M_f(x)$（即达到 $x$ 之前的部分和）的符号变化次数。我们证明了 $V(x)$ 的平均值为至少 $\gg (\log x)(\log\log x)^{-1/2-\epsilon}$。我们新方法可用于计数一组方差为 $1$ 的正交随机变量的部分和的符号变化次数，在该方法中需对这些部分和的矩作出额外假设。在算术情形下，我们方法的主要输入是 $\log \mathbb{E} |M_f(x)|^q$ 在 $1 \leq q \leq 1.9$ 区间的“线性”阶段，这由 Harper 对 $M_f(x)$ 小矩的“优于平方根取消”现象提供。