一般阿贝尔簇的平方筛法与一个 Lang-Trotter 问题

设 $A$ 为定义在 $\mathbb{Q}$ 上的 $g$ 维阿贝尔簇，其 adelic Galois 表示在 $\text{GSp}_{2g} \widehat{\mathbb{Z}}$ 中具有开像。我们研究在素数 $p$ 处 $A$ 的约化的自同态代数 $\text{End}(A_p) \otimes \mathbb{Q} = \mathbb{Q}( \pi_p )$，其中该约化为普通且简单的。我们得到了关于满足此“Frobenius 域”为指定数域的素数个数的条件与非条件渐近上界，并且当 $A$ 为二维时，得到了 Frobenius 域包含指定实二次数域的素数个数的渐近上界。这些研究延续了对椭圆曲线上 Lang-Trotter 猜想变体的探讨。