代数数的局部 theta-调节器——p进猜想
摘要
设K/Q为伽罗瓦扩张，设 eta ∈ K* 使得由 eta 生成的乘法 Z[G]-模的 Z 秩为 n。我们对 G=Gal(K/Q) 的 Q_p-不可约特征标 theta 定义局部 theta-调节器 Delta_p^theta(eta) ∈ F_p。令 V_theta 为 theta-不可约表示。与 Delta_p^theta(eta) 相关联的线性表示 L^theta=delta.V_theta，其零度等价于 delta≥1（定理3.9）。每个 Delta_p^theta(eta) 在 Reg_p^G(eta) := Reg_p(eta)/p^[K:Q]（标准化 p 进调节器）的分解 ∏_theta (Reg_p^theta(eta))^phi(1) 中给出模 p 的 Reg_p^theta(eta)，其中 phi 整除 theta 且为绝对不可约。由概率 Prob(Delta_p^theta(eta)=0 & L^theta=delta.V_theta) ≤ p^(-f.delta^2)（f 为 p 在 phi 的值域中的剩余次数）与 Borel–Cantelli 启发式，我们猜想：对于足够大的 p，Reg_p^G(eta) 是一个 p 进单位，或者 p^phi(1) 恰好整除 Reg_p^G(eta)（存在单一的 theta 满足 f=delta=1）；这一障碍可能在假设存在二项概率律（第7节）下被消除，该律通过数值研究（群 C_3、C_5、D_6）得到证实。此猜想将蕴含：对所有足够大的 p，有理数的 Fermat 商与标准化 p 进调节器均为 p 进单位（定理1.1），从而数域对 p≫0 是 p-有理的。我们在 §8.7 回顾了一些深刻的上同调结果，其可能加强此类猜想。
引用
@article{arxiv.1701.02618,
title = {Local theta-regulators of an algebraic number -- p-adic Conjectures},
author = {Georges Gras},
journal= {arXiv preprint arXiv:1701.02618},
year = {2021}
}
备注
English translation of the original article in CJM, 68, 3 (2016), 571--624