一类 p 进对称空间的局部 Zeta 函数

这是我们将要发表的一篇论文第一部分的一个扩展版本，该论文将研究由 p 进域上交换型抛物预齐性空间的开放轨道所出现的对称空间的最小球级数局部 Zeta 函数。底域为 $\mathbb{R}$ 的情形已由 Nicole Bopp 和第二作者考虑过（[7]）。若 $F$ 是特征为 $0$ 的 p 进域，我们考虑 $F$ 上的一个约化李代数 $\widetilde{\mathfrak{g}}$，它赋予一个短 $\mathbb{Z}$-分级：$\widetilde{\mathfrak{g}} = \mathfrak{g}_{-1}\oplus\mathfrak{g}_{0}\oplus \mathfrak{g}_1$。我们还假定表示 $(\mathfrak{g}_0, \mathfrak{g}_1)$ 是绝对不可约的。在所谓正则条件下，我们研究 $G_{0}$ 在 $\mathfrak{g}_{1}$ 中的轨道，其中 $G_{0}$ 是定义于 $F$ 上的代数群，其李代数为 $\mathfrak{g}_{0}$。我们还考察 $P$-轨道，其中 $P$ 是 $G$ 的极小 $\sigma$-分裂抛物子群（$\sigma$ 是定义 $\mathfrak{g}_1$ 中任一开放 $G_{0}$-轨道上对称空间结构的对合）。