Greenberg猜想的p-adic方法（p完全分裂的全实域情形）

设 k 为一个全实数域，并设 k∞ 为其对于素数 p>2 的分圆 Zp-扩张。我们给出了当 p 在 k 中完全分裂时，岩泽不变量 λ, μ 为零的一个充分条件（定理 3.2），并得到了重要的二次域与 p 的表格，对此我们可以断定 λ = μ = 0。我们证明，对于所有 n >> e，其中 p^e 是 U*/ adh(E) 的指数（用 k 的局部和整体单位表示），kn（k∞ 的第 n 层）的歧义 p-类数等于 k 的最大阿贝尔 p-分歧 pro-p-扩张的伽罗瓦群的扭群 T_k 的阶（定理 4.2）。然后，我们利用包含 E 的 k* 的子群族 (Λ_i^n)_{0≤i≤m_n} 建立了 Chevalley 公式的类似物，其中任何 x 都是 kn 的一个理想的范数。该族附属于 kn 的 p-类群的经典滤链，该滤链定义了在 m_n 步内计算其阶的算法。由此，我们证明（定理 6.1） m_n ≥ (λ.n + μ.p^n + ν)/v_p(T_k) 且条件 m_n = O(1)（即 λ = μ = 0）本质上依赖于对 P|p 的 (x^(p-1)-1)/p, x ∈ Λ_i^n 的 P-adic 赋值，因此 Greenberg 猜想与 k* 中的“费马商”密切相关。对这些费马商的启发式分析和统计分析（第 6、7、8 节）表明，它们遵循与 T_k 相关的自然概率，无论 n 为何值，这暗示 λ = μ = 0（启发式 7.1, 7.2, 7.3）。这意味着，要证明 Greenberg 猜想，在仅参考代数岩泽理论之前，可能需要一些深刻的 p-adic 结果（目前可能难以达到），这些结果与 Leopoldt 猜想有某种类比。