Chevalley-Herbrand 公式与实阿贝尔主猜想

阿贝尔域的主定理（尽管在大多数情况下已有证明，仍常被称为主猜想）有着悠久的历史，并已通过“初等算术”得到解决，正如 Washington 的著作所详述的，这源于 Thaine 的方法并导致了 Kolyvagin 的欧拉系统。实阿贝尔域 $K$ 的解析理论（在半单情形下）表明，$p$-类群 $\mathcal{H}_K$ 的阶等于分圆单位 $(\mathcal{E}_K : \mathcal{F}_K)$ 的 $p$-指数。我们利用 $K$ 的不可约 $p$-进特征标 $\varphi$ 猜想了（1977）关于同型 $p$-进分量满足 $\# \mathcal{H}_\varphi = (\mathcal{E}_\varphi : \mathcal{F}_\varphi)$ 的关系。我们在本文中发展了以下各方面之间新的有前景的联系：(i) 给出 $p$-扩张 $L/K$（$L \subset K(\mu_\ell^{})$ 对于在 $K$ 中惰性的辅助素数 $\ell \equiv 1 \pmod {2p^N}$）中“歧义类”个数的 Chevalley-Herbrand 公式；(ii) $\mathcal{H}_K$ 在 $L$ 中的 capitulation（ capitulation 现象）；(iii) 对所有 $\varphi$ 成立的实主猜想 $\# \mathcal{H}_\varphi = (\mathcal{E}_\varphi : \mathcal{F}_\varphi)$。我们证明了只要 $\mathcal{H}_K$ 在 $L$ 中 capitulates（capitulate），实主猜想便平凡地成立（定理 \ref{thmppl}）。使用 PARI 程序的计算支持这一主猜想的新哲学。极为频繁的 capitulation 现象暗示了猜想 1.2。