非半单情形下的实阿贝尔主猜想

设 $K/\mathbb{Q}$ 为次数被 $p$ 整除的实循环扩张。我们在这一非半单情形下分析关于 $K$ 的 $p$-类群 $\mathcal{H}_K$ 的“实阿贝尔主猜想”的论述。对于不可约 $p$-进特征标 $\varphi$，经典的 $p$-进同构分量 $\mathcal{H}^{\rm alg}_{K,\varphi}$ 的代数定义相对于解析公式是不恰当的，原因在于 $p$-类在 $K/\mathbb{Q}$ 的 $p$-子扩张中的 capitulation（ capitulation 指类群在子扩张中的塌缩）。在 1970 年代我们给出了一个算术定义 $\mathcal{H}^{\rm ar}_{K,\varphi}$，并提出了尚未证明的猜想 $\# \mathcal{H}^{\rm ar}_{K,\varphi} = \# (\mathcal{E}_K / \mathcal{E}^\circ_K \, \mathcal{F}_{\!K})_{\varphi_0}$，用单位群 $\mathcal{E}_K$ 及其子群 $\mathcal{E}^\circ_K$（由 $K$ 的严格子域的单位生成）与分圆单位 $\mathcal{F}_K$ 表示，其中 $\varphi_0$ 为 $\varphi$ 的驯顺部分。我们证明：只要存在一个在 $K$ 中完全惰性（totally inert）的素数 $\ell$，使得 $\mathcal{H}_K$ 在 $K(\mu_\ell^{})$ 中 capitulates，该猜想即成立；而这一存在性已在多种情形下被验证，作为一个有前景的新工具。