分圆塔中的理想范数与 Greenberg 猜想

本文是发表于《Annales mathématiques du Québec》的一篇预印本。设 $k$ 为全实域，$k_\infty$ 为其对于在 $k$ 中完全分裂的 $p$ 的 $\mathbb{Z}_p$-分圆扩张。本文通过关于 $k_\infty$ 中理想在 $k_n/k$ 中的范数的 $p$-adic 行为的启发式讨论，完善了我们题为“全实域的 Greenberg 猜想的 $p$-adic 方法”（Annales Mathématiques Blaise Pascal 2017）的文章；事实上，该猜想（关于 Iwasawa 不变量 $\lambda$ 和 $\mu$ 为零）取决于 $k$ 的最大 Abel $p$-分歧 pro-$p$-扩张的 Galois 群的扭子群 ${\mathcal T}_k$ 中的像，从而取决于通过 ${\mathcal T}_k$ 的 Galois 下降得到的有限扩张 $F/k$ 中的 Artin 符号。关于这些范数分布的一个假设可推出 $\lambda=\mu=0$。在二次域情形下的若干统计和数值例子证实了这些性质的很可能正确性，它们构成了仅在 Iwasawa 理论框架内证明 Greenberg 猜想的根本障碍。