理想类群与簇形的 Picard 群中的挠元

我们提出了一种新的通用技术，用于构造和计数具有非平凡 m-秩理想类群的数域。我们的结果可被视为提供了一种方法，将定义在 $\mathbb{Q}$ 上的簇形 V 的 Picard 群特化，以获得某些点族 P 对应的数域 $\mathbb{Q}(P)$ ($P\in V(\Qbar)$) 的类群。特别地，我们展示了如何将构造具有大秩理想类群的二次数域的问题，归约为寻找具有有理 Weierstrass 点且其 Jacobian 中具有大有理挠子群的超椭圆曲线的问题。此外，我们展示了如何将许多先前关于构造大秩理想类群的结果纳入我们的框架并重新推导。作为我们技术的一个应用，我们推导了 Nakano 定理的一个定量版本。这给出了关于具有大秩理想类群的数域的最佳已知通用定量结果。