特征$p$下$p$-挠类群概形的Iwasawa理论

我们通过将类群中$p$-挠的通常研究替换为$p$-挠类群概形的研究，考察特征$p>0$完美域$k$上函数域的$\mathbf{Z}_p$-扩张的一种新颖几何Iwasawa理论。即，若$\cdots \to X_2 \to X_1 \to X_0$为对应于在一个有限非空位集上全分歧的函数域$\mathbf{Z}_p$-扩张的$k$上曲线塔，我们考察$X_n$的Jacobian中$p$-挠群概形随$n\rightarrow \infty$的增长。由Dieudonné理论，这等价于研究$X_n$的第一de Rham上同调群，其上配备Frobenius与Cartier算子$V$的自然作用。我们提出并检验若干猜想，预测全局正则微分形式空间$M_n:=H^0(X_n, \Omega^1_{X_n/k})$的$k[V]$-模结构随$n\rightarrow \infty$呈现惊人的规律性。例如，对一类基本$\mathbf{Z}_p$-塔中的每个塔，我们猜想$V^r$在$M_n$上核的维数对所有足够大的$n$由$a_r p^{2n} + \lambda_r n + c_r(n)$给出，其中$a_r, \lambda_r$为有理常数，$c_r : \mathbf{Z}/m_r \mathbf{Z} \to \mathbf{Q}$为依赖于$r$与塔的周期函数。为给这些猜想提供证据，我们基于用于$\mathbf{Z}_p$-曲线塔上微分的新且更高效的算法收集了广泛的实验数据，并在$p=2$与$r=1$的情形证明了猜想。