曲线 $\mathbb{Z}_p$-塔的 $p$-进 Wan-Riemann 假设

本文旨在研究 Daqing Wan 提出的关于曲线几何 $\mathbb{Z}_p$-塔 $X_{\infty}/X$ 稳定行为的四个猜想。设 $h_n$ 为 $X_{\infty}/X$ 中第 $n$ 层的类数。由 Iwasawa 理论可知，存在整数 $\mu(X_{\infty}/X), \lambda(X_{\infty}/X)$ 和 $\nu(X_{\infty}/X)$，使得对充分大的 $n$，$p$-进赋值 $v_p(h_n)$ 等于 $\mu(X_{\infty}/X) p^n + \lambda(X_{\infty}/X) n+ \nu(X_{\infty}/X)$。设 $\mathbb{Q}_{p,n}$ 为 $X_{\infty}/X$ 中第 $n$ 层 zeta 函数（在 $\mathbb{Q}_p$ 上）的分裂域。$p$-进 Wan-Riemann 假设猜想扩张次数 $[\mathbb{Q}_{p,n}:\mathbb{Q}_p]$ 随 $n$ 趋于无穷而趋于无穷。在引出并介绍这些猜想后，我们证明了当 $\lambda(X_{\infty}/X)$ 非零时 $p$-进 Wan-Riemann 假设成立。