通过计数格点研究 $p$ 进制塔中的高阶 $a$-数

Booher、Cais、Kramer-Miller 和 Upton 研究了特征为 $p$ 的 $\mathbf{Z}_p$-塔中的曲线类，其中ramification由整数 $d$ 控制。当 $d$ 整除 $p-1$ 时，他们证明了这些曲线的高阶 $a$-数公式涉及平面中复杂区域的格点数。Booher 和 Cais 先前曾猜想，对于足够大的 $n$，第 $n$ 条曲线的高阶 $a$-数由形式为 $\alpha(n) p^{2n} + \beta(n) p^n + \lambda_r(n) n + \nu(n)$ 的公式给出，其中 $\alpha,\beta,\nu,\lambda_r$ 为 $n$ 的周期函数。这属于一种新的 Iwasawa 理论类型。我们通过细致研究这些格点来确立此猜想。