无穷数域塔中代数曲线上的有理点

我们研究亏格 $>1$ 的代数曲线 Iwasawa 理论中的一个自然问题。固定一个素数 $p$。设 $X$ 是定义在数域 $K$ 上的光滑、射影、几何不可约曲线，亏格 $g>1$，且其 Jacobian 在 $p$ 上方素数处具有好的常ordinary约化。固定奇素数 $p$，对任意整数 $n>1$，令 $K_n^{(p)}$ 表示 $K$ 包含在 $K(\mu_{p^{\infty}})$ 中的 $p^n$ 次扩张。我们证明了当 $n\rightarrow \infty$ 时 $\#X(K_n^{(p)})$ 增长的显式结果。当 $X$ 的 Jacobian 秩为零且相应的 adelic Galois 表示具有大像时，我们证明了一个显式条件，在此条件下对所有 $n$ 有 $X(K_{n}^{(p)})=X(K)$。该条件通过例子加以说明。我们还证明了 Imai 定理的一个推广，适用于任意 pro-$p$ 扩张上的阿贝尔簇。