椭圆曲线的GL2岩泽模的秩

设$p \ge 5$为素数，$E$为无复乘的椭圆曲线，并设$K_\infty = \mathbb{Q}(E[p^\infty])$为数域$K$上的pro-$p$伽罗瓦扩张。我们考虑$X(E/K_\infty)$，即$p$-Selmer群$\Sel_{p^\infty}(E/K_\infty)$的庞特里亚金对偶。该模的大小大致由其在$p$-进伽罗瓦群代数$\Lambda(H)$上的秩$\tau$衡量，这一秩在过去十年中已有研究。我们证明，在标准假设下，几乎所有椭圆曲线都有$\tau \ge 2$。根据Coates等人的结果，$\tau$为奇数当且仅当$[\mathbb{Q}(E[p]) : \mathbb{Q}]/2$为奇数；我们给出了另一种证明。我们证明这等价于$p=7$，$E$具有7-同源以及判别式上的一个易于验证的条件。在同源意义下，这些曲线由两个有理变量参数化，这基于Greenberg、Rubin、Silverberg和Stoll的最新工作。我们发现$\tau = 1$且$j \notin \mathbb{Z}$是不可能的，而$\tau = 1$且$j \in \mathbb{Z}$最多出现在8条已知的椭圆曲线中。$\tau=1$的稀有性在岩泽理论中已有预期，但证明本质上是初等的。